zugehört: Woraus ist Popmusik gemacht?

Teil 2:  Wir erfinden die Musik

Wenn Töne Frequenzen sind, dann bedeutet das: Es gibt unendlich viele verschiedene Töne. Das ganze hörbare Spektrum von 20 Hz bis 20 kHz ist ein Kontinuum von Tönen. Bekannter­maßen kommt in der Musik aber nur eine relativ kleine Auswahl an Tönen zum Einsatz. Selbst ein Klavier, dessen Töne drei Viertel des hörbaren Spektrums abdecken, kommt mit 88 Tasten aus. Das hat natürlich praktische Gründe. Der Komponist kann dem Interpreten viel spiel­gerechter eine Note wie C6 mitteilen als eine Frequenz wie 1046,5 Hz. Auch ist der Bau vieler Instrumente (wie eben eines Klaviers) nur möglich, weil die Anzahl der Töne, die in der Musik benutzt werden, über­schaubar ist.

Aber welche Töne sind das, die da ausgewählt werden, um Musik zu machen? Ist diese seit Jahr­hunderten übliche Auswahl willkürlich? Eine reine Konvention, die sich ebensogut völlig anders hätte heraus­bilden können? Oder gibt es gute Gründe für genau diese Auswahl?

Um das zu untersuchen, wollen wir so tun, als gäbe es Musik noch nicht und wir würden sie gerade erfinden. Ausgehend vom Verständnis von Harmonie, das wir im ersten Teil gewonnen haben, wollen wir für Musik eine Auswahl an Tönen treffen, zwischen denen sich möglichst viele Harmonien ergeben. Das wird zwangsläufig etwas mathematisch. Wir werden sehen, welche Empfehlungen oder Notwendig­keiten sich ergeben, und ob sich diese in der real praktizierten Musik wiederfinden.

Idealerweise sollten in unserer Auswahl zu jedem Ton auch diejenigen enthalten sein, die gut mit ihm harmonieren, also ein Frequenz­verhältnis von 2:1, 3:2, 4:3 oder 5:4 aufweisen, und zwar in beiden Richtungen. Diese elementaren Verhältnisse würden eine ganze Reihe von weiteren zwangs­läufig mit sich bringen. Wenn z.B. zu jedem Ton ein zweiter im Verhältnis 3:2 existiert und zu diesem zweiten ein dritter in 4:5, dann verhält sich der dritte zum ersten wie 6:5. Selbst 4:3 ergäbe sich schon aus 2:1 und 2:3, d.h. kritisch sind nur 2:1, 3:2 und 5:4.

Wir beginnen mit der wichtigsten Harmonie, der größten: 2:1. Die erste Ziel­stellung lautet also: Zu jedem Ton sollen auch die Töne in der Auswahl sein, die sich zu ihm wie 2:1 und wie 1:2 verhalten. Das ist leicht zu erreichen. Wir fügen die Töne mit dem gewünschten Verhältnis einfach der Auswahl hinzu. Eine Frequenz f in der Auswahl zieht f*2 und f/2 nach sich. f*2 wiederum zieht (f*2)*2=f*4 und (f*2)/2=f nach sich, wobei letzteres schon vorhanden ist. Analog zieht f/2 zwei Frequenzen nach sich, nämlich (f/2)*2=f und (f/2)/2=f/4; ersteres ist schon vorhanden. Weiter geht es mit f*8, f/8, f*16, f/16 usw. An den Grenzen des hörbaren Spektrums können wir den Spaß beenden, deshalb kommen nur relativ wenige Töne zusammen - etwa zehn pro Ausgangston.

Diese Töne erfordert ein Ton von 440 Hz, damit zu jedem Ton die Harmonien 2:1 und 1:2 existieren.

play

Für das Verhältnis 2:1 ist das Ziel damit vollständig erreicht, selbst wenn wir mehrere Ausgangs­töne haben, die zueinander in beliebigen Verhältnissen stehen. Jeder hat in der Auswahl seine eigene 2:1-Verwandtschaft.

An dieser Stelle ist schon klar, dass die Auswahl an Tönen am Ende einen periodischen Charakter haben wird. Alle Töne, die in einem Frequenz­bereich von f bis f*2 ausgewählt sind, finden sich mit doppelter Frequenz im Bereich f*2 bis f*4 wieder und mit halbierter im Bereich f/2 bis f. Wenn wir z.B. Töne mit den Frequenzen 600 Hz, 750 Hz, 800 Hz und 900 Hz in der Auswahl hätten, dann hätten wir oberhalb davon auch 1200 Hz, 1500 Hz, 1600 Hz und 1800 Hz. Ebenso unterhalb 300 Hz, 375 Hz, 400 Hz und 450 Hz.

ansteigende Frequenzen mit Periode

Wir haben eine Periode mit dem Faktor 2. Von den Rändern abgesehen, können wir das ganze Diagramm vertikal um den Faktor 2 strecken und um 4 Töne nach rechts verschieben, und es kommt perfekt auf sich selbst zu liegen. Diese Periode existiert tatsächlich in der realen Musik und hat dort natürlich einen griffigen Namen, auf den wir in Teil 3 zu sprechen kommen.

Wie bekommen wir nun die Verhältnisse 3:2 und 5:4 in die Auswahl? Wir können die Töne einer Periode frei wählen, die übrigen Perioden ergeben sich unweigerlich daraus. Wir müssen aber auch nur die Töne einer Periode bedenken, denn die Verhältnisse, die wir dort wählen, gelten automatisch auch in allen anderen Perioden. Trotzdem ist diese Aufgabe fürchterlich komplex, wenn wir für jeden Ton die vier Verhältnisse 3:2, 2:3, 5:4 und 4:5 anstreben. Schon bei fünf Tönen in der Periode, die wohl zu wenig sein werden, müssten wir mindestens zehn Verhältnisse aufeinander abstimmen. Von der Aufgabe des Komponisten, der mit diesem komplexen Gewirr von Verhältnissen zu arbeiten hätte, wollen wir gar nicht reden.

Können wir die Töne so wählen, dass wir nur die Verhältnisse eines einzigen Tons beachten müssen, weil die Verhältnisse aller Töne der gesamten Auswahl identisch sind? Ja, das können wir. Die Töne müssen dazu eine strenge geometrische Reihe bilden, d.h. von einem zum nächsten wächst die Frequenz immer um den gleichen Faktor irgendwo knapp über 1. Damit ist die Auswahl der Töne nicht nur für die Periode mit dem Faktor 2 selbst­ähnlich, sondern für jeden einzelnen Ton.

ansteigende Frequenzen in geometrischer Reihe

Mit dieser Idee bleibt nun aber sehr wenig Freiheit. Wir können nur noch die Anzahl der Töne pro Periode wählen, alles andere ergibt sich daraus. Also: Mit welcher Anzahl von Tönen pro Periode entstehen irgendwo die Verhältnisse 3:2 und 5:4?

Zunächst einmal können wir die Frequenzen aller Töne der Auswahl nun mit einer Formel beschreiben:
f = 2i/n f0
Dabei ist i die Nummer des Tons in der Auswahl, wobei die Zählung beim tiefsten mit 0 beginnt. n ist die Anzahl der Töne pro Periode. f0 ist die Frequenz des tiefsten Tons.

Es gibt keine Zahl n, die uns exakt das Verhältnis 3:2 oder exakt das Verhältnis 5:4 beschert. Die Zahlen­theorie weiß es zu verhindern. Aber das ist auch gar nicht nötig. Wenn die Verhältnisse exakt sein müssten, um harmonisch zu wirken, wäre keine Musik, die aus Gesang und dem Klang von Instrumenten besteht, jemals harmonisch. Es genügt, die Verhältnisse anzunähern.

Probieren wir also die praktikablen Varianten durch und sehen uns an, ob und wie gut jeweils die gesuchten Verhältnisse angenähert werden. Folgende Liste zeigt für jede potenzielle Anzahl von Tönen pro Periode zwischen 5 und 20 die Frequenz­verhältnisse zum ersten Ton, denen sich die Töne der Periode annähern. Daneben ist jeweils die Abweichung in Prozent angegeben. Ist eine der Möglichkeiten brauchbar? Wir suchen nach 3:2 und 5:4 (und erwarten, dass 3:2 auch 4:3 mitbringt).

51:1
8:7+0,5
4:3-1,0
3:2+1,0
7:4-0,5
2:1
61:1
 
5:4+0,8
7:5+1,0
8:5-0,8
 
2:1
71:1
 
 
4:3+0,9
3:2-0,9
 
 
2:1
81:1
 
6:5-0,9
 
7:5+1,0
 
5:3+0,9
 
2:1
91:1
 
7:6-0,0
5:4+0,8
 
 
8:5-0,8
 
 
2:1
101:1
 
8:7+0,5
 
4:3-1,0
7:5+1,0
3:2+1,0
 
7:4-0,5
 
2:1
111:1
 
8:7-0,7
6:5+0,7
 
 
 
 
5:3-0,7
7:4+0,8
 
2:1
121:1
 
 
6:5-0,9
5:4+0,8
4:3+0,1
7:5+1,0
3:2-0,1
8:5-0,8
5:3+0,9
 
 
2:1
131:1
 
 
7:6+0,6
5:4-1,0
 
 
 
 
8:5+1,0
 
 
 
2:1
141:1
 
 
7:6-0,6
 
 
4:3+0,9
7:5+1,0
3:2-0,9
 
 
 
 
 
2:1
151:1
 
 
8:7+0,5
6:5+0,3
5:4+0,8
4:3-1,0
7:5-1,3
 
3:2+1,0
8:5-0,8
5:3-0,3
7:4-0,5
 
 
2:1
161:1
 
 
8:7-0,4
6:5-0,9
5:4-0,7
 
 
7:5+1,0
 
 
8:5+0,7
5:3+0,9
7:4+0,4
 
 
2:1
171:1
 
 
8:7-1,1
7:6+0,9
 
 
4:3-0,2
7:5-1,0
 
3:2+0,2
 
 
 
7:4+1,1
 
 
2:1
181:1
 
 
 
7:6-0,0
6:5+1,0
5:4+0,8
 
 
7:5+1,0
 
 
8:5-0,8
5:3-1,0
 
 
 
 
2:1
191:1
 
 
 
7:6-0,8
6:5+0,0
5:4-0,4
 
4:3+0,4
7:5-0,8
 
3:2-0,4
 
8:5+0,4
5:3-0,0
7:4-1,2
 
 
 
2:1
201:1
 
 
 
8:7+0,5
6:5-0,9
 
 
4:3-1,0
 
7:5+1,0
 
3:2+1,0
 
 
5:3+0,9
7:4-0,5
 
 
 
2:1

Die kleinste Zahl von Tönen, die uns alle gewünschten Verhältnisse liefert, ist 12. Überhaupt hat die Variante eine hohe Dichte an harmonischen und halb­harmonischen Verhältnissen. Einziger Wermuts­tropfen sind die relativ hohen Abweichungen der Annäherungen zu 5:4 und 5:3 von jeweils fast einem Prozent. Um in dieser Hinsicht besser zu sein, müssten wir auf 19 Töne hinauf gehen. Dort bilden aber viele Frequenzen keinerlei harmonisches Verhältnis. 12 erscheint als der beste Kompromiss. Die 10 Perioden des hörbaren Spektrums kommen damit insgesamt auf 120 Töne, was mit Blick auf die Praxis vertretbar ist.

Damit wären wir genau dort gelandet, wo sich die westliche Musik seit Jahr­hunderten befindet. Eine Periode von 12 Tönen lässt sich auf jedem Klavier erkennen, die Frequenzen verdoppeln sich mit jeder Periode, und die Töne folgen einander im gleichen relativen Abstand.

 121:1
  
  
 6:5
 5:4
 4:3
 7:5
 3:2
 8:5
 5:3
  
  
 2:1

13 aufeinander­folgende Tasten auf einem Klavier. Die Abstände sind gleich. Der letzte Ton hat die doppelte Frequenz des ersten.

play

Unter dem Aspekt der Harmonie ergibt dieses sogenannte chromatische System also sehr viel Sinn. Willkürlich und austauschbar ist es mitnichten. Es muss deshalb auch nicht verwundern, dass diese "westliche" Art von Musik in Wahrheit längst die globale ist.