Teil 2

Wir erfinden die Musik

In diesem Teil muss ich leider die Geduld und die grauen Zellen des Lesers etwas strapazieren, denn es wird mathematisch. Mathematik ist aber der Schlüssel, um bestimmte Aspekte der Musik zu verstehen, und allzu kompliziert wird es auch nicht.

Wenn Töne Frequenzen sind, dann bedeutet das: Es gibt unendlich viele verschiedene Töne. Das ganze hörbare Spektrum von 20 Hz bis 20 kHz ist ein Kontinuum von Tönen. Bekannter­maßen kommt in der Musik aber nur eine relativ kleine Auswahl an Tönen zum Einsatz. Selbst ein Klavier, dessen Töne drei Viertel des hörbaren Spektrums abdecken, kommt mit 88 Tasten aus. Das hat natürlich praktische Gründe. Für eine begrenzte Menge an Tönen kann eine über­sichtliche Symbol­schrift entwickelt werden, die der Interpret viel leichter ablesen kann als eine Liste von Frequenz­angaben. Auch ist der Bau vieler Instrumente (wie eben eines Klaviers) nur möglich, weil die Anzahl der Töne, die in der Musik benutzt werden, über­schaubar ist.

Aber welche Töne sind das, die da ausgewählt werden, um Musik zu machen? Ist diese seit Jahr­hunderten übliche Auswahl willkürlich? Eine reine Konvention, die sich ebensogut völlig anders hätte heraus­bilden können? Oder gibt es gute Gründe für genau diese Auswahl?

Um das zu untersuchen, wollen wir so tun, als gäbe es Musik noch nicht und wir würden sie gerade erfinden. Ausgehend vom Verständnis von Harmonie, das wir im ersten Teil gewonnen haben, wollen wir für Musik eine Auswahl an Tönen treffen, zwischen denen sich möglichst viele Harmonien ergeben. Wir werden sehen, welche Empfehlungen oder Notwendig­keiten sich ergeben, und ob sich diese in der real praktizierten Musik wiederfinden.

Eine kurze Erläuterung zu den Grafiken, die in diesem Teil zu sehen sind. Sie ordnen Töne in das Frequenz­spektrum ein und verdeutlichen, wie sie sich zueinander verhalten. Die Töne erscheinen als farbige Balken.

Beide Achsen bilden die Frequenz der Töne ab. Die vertikale tut das auf die nahe­liegendste Weise, nämlich linear. Doppelte Höhe bedeutet doppelte Frequenz. Auf der horizontalen Achse ist die Frequenz dagegen logarithmisch skaliert. Das hat den Vorteil, dass ein gleicher geometrischer Abstand immer auch das gleiche Frequenz­verhältnis anzeigt. So haben z.B. Töne mit dem Frequenz­verhältnis 2∶3 an jeder Stelle im Spektrum den gleichen horizontalen Abstand.

Im Übrigen zeigen die Diagramme nicht das gesamte hörbare Spektrum, sondern nur etwa 50% davon. Sagen wir, es sind die 50% in der Mitte des Spektrums. Ein Teil des Spektrums genügt zur Visualisierung der Zusammen­hänge, die Fortsetzung links und rechts kann man sich überall dazu denken. (Über das komplette Spektrum ist der Unter­schied zwischen der geringsten und der höchsten Frequenz noch weitaus größer als die ca. 1∶30 zwischen Anfang und Ende dieses Ausschnitts.)

Schritt 1: Das Verhältnis 2∶1 und die Konsequenzen

Wir wollen also eine Auswahl an Tönen zusammen­stellen, die möglichst gut zum Musizieren geeignet ist. Welche konkreten Ziele können wir dafür vorgeben? Nun, zunächst sollte der Tonvorrat aus praktischen Gründen nicht zu groß sein - sagen wir, maximal 200 Töne. Zweitens sollte die Sammlung eine große Auswahl an Harmonien bieten, also Paarungen zweier Töne, die zueinander in einem harmonischen, einfachen Frequenz­verhältnis stehen. Die Maximal­forderung lautet: Zu jedem Ton sind im Vorrat auch diejenigen enthalten, die gut mit ihm harmonieren, also ein Frequenz­verhältnis von 2∶1, 3∶2, 4∶3, 5∶3 oder 5∶4 aufweisen, und zwar in beiden Richtungen.

Zu den Frequenzverhältnissen sei angemerkt, dass sie hier prinzipiell ungerichtet gemeint sind. A∶B ist das Gleiche wie B∶A. Es geht um Paarungen von Tönen, deshalb spielt es keine Rolle, welche der beiden Frequenzen zur jeweils anderen in Bezug gesetzt ist. Speziell in den Grafiken sind die Verhältnisse zum besseren Verständnis gegen­über dem Text invertiert, was aber mathematisch keinen Unter­schied macht.

Der erste Schritt zum geeigneten Tonvorrat ist so naheliegend, vorteilhaft und unproblematisch, dass es dazu keine ernsthafte Alternative gibt. Die Idee findet sich folglich auch seit Ewigkeiten in den meisten Tonsystemen wieder, nicht nur dem westlichen. Die größte und wichtigste Harmonie ist das Frequenz­verhältnis 2∶1. Dieses Verhältnis lässt sich sehr einfach für den kompletten Tonvorrat erreichen, und zwar unabhängig davon, welche sonstigen Eigen­schaften er hat. Man kann die Töne, die dafür nötig sind, einfach einschließen.

Ein Beispiel: im Vorrat sei der Ton mit der Frequenz 400 Hz enthalten.

Dieser Ton erfordert für 2∶1 nach unten den Ton bei 200 Hz und nach oben den bei 800 Hz - sie werden also ebenfalls Teil des Vorrats. Zwar ziehen diese Töne weitere Töne in den Vorrat hinein, aber die Ketten­reaktion findet schnell ein Ende, nämlich an den Grenzen des hörbaren Spektrums. Spielen wir es durch: Der Ton bei 200 Hz verlangt für 2∶1 nach Tönen bei 100 Hz und 400 Hz, von denen nur der untere neu hinzu­kommt, der obere ist schon da. Weiter geht es nach unten mit 50 Hz und 25 Hz, und das war's, denn darunter beginnt der Infraschall. Nach oben ist ebenfalls nach wenigen Tönen Schluss, nämlich bei 12.800 Hz.

Diese Töne impliziert ein Ton von 400 Hz, damit zu jedem Ton in beiden Richtungen die Harmonie 2∶1 existiert. (Genau genommen sind das nur die, die mit einem Klavier gespielt werden können, eigentlich sind es noch drei mehr.)

Für das Verhältnis 2∶1 ist das Ziel damit vollständig und perfekt erreicht, auch bei mehreren Ausgangs­tönen, die zueinander in beliebigen Verhältnissen stehen. Jeder hat im Tonvorrat seine eigene 2∶1-Verwandtschaft.

Aus diesem ersten Prinzip erwächst auch schon eine zentrale Eigenart des Tonvorrats, in obiger Grafik gut zu erkennen: Er ist zwangsläufig periodisch. Zu allen Tönen, die der Vorrat in einem Frequenz­bereich von f bis f×2 enthält, enthält er auch Entsprechungen mit der doppelten Frequenz im Bereich f×2 bis f×4 und mit der halben im Bereich f/2 bis f. Die Lage des wieder­holten Bereichs kann man sich an beliebiger Stelle denken, an der Wieder­holung ändert das nichts.

Diese Periode, mit der sich die Frequenzen aller Töne verdoppeln, hat große Bedeutung in der Musik, und natürlich gibt es einen griffigen Namen für sie, auf den wir in Teil 3 zu sprechen kommen. Bis dahin sei einfach von „der Periode“ die Rede. Das hörbare Spektrum zwischen 20 Hz und 20 kHz besteht aus zehn solchen Perioden, denn 20 Hz müssen ziemlich genau zehn mal verdoppelt werden, um zu 20 kHz zu werden.

Das Frequenzverhältnis 2∶1 ist also erfolg­reich bewältigt. Leider taugt die Methode, mit der wir das geschafft haben, nicht für weitere. Wollte man neben allen Tönen im Verhältnis 2∶1 auch noch alle mit einem anderen Verhältnis wie z.B. 3∶2 dem Vorrat hinzufügen, dann käme man damit nicht zum Ende. Mit mehreren Verhältnissen statt einem wuchert die Prozedur endlos zu immer neuen Tönen, die irgendwo in der Mitte noch gebraucht werden.

Für die noch fehlenden harmonischen Frequenz­verhältnisse - das sind 3∶2, 4∶3, 5∶3 und 5∶4 - müssen wir uns also etwas anderes einfallen lassen. Die für 2∶1 benutzte Kanone hat nur einen Schuss, und den haben wir verballert. Man hätte statt mit 2∶1 auch mit einem der anderen Frequenz­verhältnisse beginnen und für dieses die perfekte Abdeckung erreichen können. 2∶1 ist aber die bessere Wahl, weil wichtiger.

Schritt 2: Das Raster

Dass das Hinzufügen aller fehlenden Töne für alle gewünschten Frequenz­verhältnisse nicht zum Ende kommt, bedeutet nicht weniger, als dass das formulierte Maximal­ziel mit endlich vielen Tönen nicht erreichbar ist. Jedenfalls nicht mit naiver Mathematik. Wir müssen einen Kompromiss suchen, und dafür gibt es zwei prinzipielle Ansätze. Entweder verzichten wir bei einigen Tönen des Vorrats auf manche Harmonien. Oder wir verzichten auf perfekte mathematische Präzision und nähern die Frequenz­verhältnisse nur an. Wir fahren hier mit der zweiten Idee fort, denn das Annähern von harmonischen Verhältnissen ist nicht prinzipiell problematisch. Das wissen wir aus der Praxis. Keine reale Erscheinung enthält jemals absolut exakte Frequenz­verhältnisse, auch Instrumente können unmöglich perfekt gestimmt sein, und doch hören wir Harmonie.

Wir suchen also eine Sammlung irgend­welcher Töne, sprich: Frequenzen, die so gut zusammen passen, dass es zu jedem davon für jedes der noch fehlenden harmonischen Frequenz­verhältnisse einen Partnerton gibt, der das Verhältnis gut annähert. Das klingt nach einer furchtbar komplizierten Aufgabe. Es gibt aber Über­legungen, die die Sache vereinfachen und letzt­endlich eine bestimmte Lösung nahelegen.

Erstens: Da sich die Töne im Spektrum periodisch wieder­holen, müssen wir uns nur noch um eine einzige dieser Perioden kümmern. Die übrigen ergeben sich als Kopien davon mit einfach oder mehrfach verdoppelten oder halbierten Frequenzen. Es geht nur noch darum, den Bereich zwischen einer Frequenz und ihrem Doppelten mit Tönen zu füllen.

Alle Frequenz­verhältnisse, die wir in diesem Bereich annähern, sind in jeder seiner Kopien gleich gut angenähert.

Zweitens: Da es 10 Perioden sind und wir insgesamt bei nicht mehr als 200 Tönen landen wollen, geht es um maximal 20 Töne, die wir in die Periode packen dürfen.

Drittens: Es hat Vorteile, wenn die Abfolge der Töne kein verrückter Mikado-Wurf ist, sondern fast oder sogar exakt gleich­mäßig. Am Ende muss ja der Komponist mit dem System arbeiten, und je unüber­sichtlicher es ist, umso schlechter wird er es beherrschen. Ideal ist aus dieser Sicht eine gleich­mäßige Abfolge von Tönen ohne größere Unregel­mäßigkeiten, so dass sich die Töne nur in der Tonhöhe unter­scheiden und nicht in der musikalischen Funktion, die sie haben können. Der Komponist bekommt so ein aufgeräumtes Tonsystem mit markanten Gesetz­mäßigkeiten. Auch können mit dieser Art von Symmetrie Stücke einfach um ein paar Töne nach oben oder unten geschoben („transponiert“) und so an limitierte Instrumente oder die Vorlieben des Sängers angepasst werden.

Wir werden deshalb unregelmäßige Abfolgen gar nicht erst unter­suchen und es bei regel­mäßigen belassen. Ob die Abstände zwischen den Tönen exakt oder nur fast exakt gleich sind, spielt bei diesen Betrachtungen keine Rolle. Wir suchen nach Annäherungen und müssen deshalb eine Toleranz zulassen. Wie die Töne innerhalb dieser Toleranz zurecht geschoben sind, macht keinen Unter­schied. Falls der Leser also zufällig weiß, dass historische Tonsysteme im Gegen­satz zum heute üblichen nicht exakt gleich­mäßig gestuft waren: Bei den folgenden Über­legungen erscheint das alles als ein und dasselbe. Es geht um die prinzipielle Aufteilung der Periode, nicht um Nuancen.

Eine gleichmäßige Abfolge der Töne vereinfacht auch das Prüfen der gewünschten Frequenz­verhältnisse ganz erheblich. Das muss nämlich nicht bei allen Tönen geschehen, sondern nur bei einem einzigen. Die anderen verhalten sich zu ihrem jeweiligen Umfeld fast gleich, was die gleichen Annäherungen von Frequenz­verhältnissen mit sich bringt. Wir können den ersten Ton an den Anfang der Periode setzen, diese dann gleich­mäßig mit Tönen füllen und uns die Frequenz­verhältnisse dieser Töne zum ersten Ton ansehen. Der erste Ton kann alle anderen vertreten. Ein Frequenz­verhältnis, das dort vorhanden ist, ist es auch bei jedem anderen Ton.

Markieren wir also die noch fehlenden Frequenz­verhältnisse in der Periode, ausgehend vom Ton am Anfang.

Das sind die Frequenzen, bei denen wir gern Töne hätten. Nun sehen wir uns alle potenziellen Füllungen der Periode aus 5 bis 20 Tönen an.

Der interessante Mittelteil in der Vergrößerung:

Die besten Annäherungen sind jeweils die in der Mitte eines Streifens, zum linken und rechten Rand hin wird es zunehmend schief. Wie man sieht, taugen die meisten der Varianten nichts, mindestens eine Harmonie fehlt. Mit fünf Tönen z.B. bekommen wir nur 4∶3 und 3∶2 in schlechter Annäherung, 5∶4 und 5∶3 dagegen nicht. Die kleinste Zahl von Tönen, mit der alle vier gewünschten Frequenz­verhältnisse halbwegs gut angenähert werden, ist 12. Jenseits der 12 (und natürlich auch jenseits der 20) gibt es weitere geeignete Teilungen, aber mit Blick auf die Praxis ist es vorteil­haft, bei möglichst wenigen Tönen zu bleiben. Man möchte ja Kompositionen notieren, Instrumente bauen und die Instrumente auch spielen, und schon aus 12 Tönen werden 120 über die 10 Perioden. Zwölf Töne erscheinen als die beste Wahl.

Ergebnis und Einordnung

Das Tonsystem ist damit fertig. In zwei Sätzen: Wir betrachten das Spektrum logarithmisch und teilen es zunächst in gleich große Abschnitte, in denen sich die Frequenz verdoppelt. Diese Abschnitte füllen wir wiederum gleich­mäßig mit jeweils zwölf Tönen.

Mathematisch gesehen, bilden so alle Töne des Systems eine geometrische Folge. Von einem zum nächsten wächst die Frequenz immer um den gleichen Faktor knapp über 1. Erwähnt sei noch einmal, dass dieses Ergebnis tatsächlich die anfänglich formulierte Maximal­forderung erfüllt - sieht man davon ab, dass wir nicht unbedingt geplant hatten, die meisten harmonischen Frequenz­verhältnisse nur anzunähern. In der Annäherung liegt aber kein größeres Problem.

Die Gleichförmigkeit macht die Sache sehr übersichtlich. An jeder Stelle im Tonsystem gelten die gleichen Zusammen­hänge. So bilden z.B. zwei Töne im Abstand von sieben Stufen überall etwa das Frequenz­verhältnis 3∶2, von den tiefsten Gefilden bis zu den höchsten.

Wie man sich weiterhin überlegen kann, werden nicht nur die fünf Frequenz­verhältnisse angenähert, auf die wir abgezielt hatten, sondern noch einige mehr. Man kann Abstände mit bekannten Frequenz­verhältnissen verketten und ausrechnen, welches Frequenz­verhältnis der summierte Abstand aufweist. Geht man z.B. 7 Stufen (3∶2) nach oben und anschließend noch einmal 5 Stufen (4∶3), dann sind das zusammen 12 Stufen, und als Frequenz­verhältnis ergibt sich (3∶2)×(4∶3) = 2∶1. Das allerdings wussten wir schon. Interessanter sind neue Frequenz­verhältnisse, besonders natürlich solche mit kleinen Zahlen. Das sind vor allem zwei. 12 Stufen (2∶1) nach oben und 9 Stufen (5∶3) wieder nach unten sind effektiv 3 Stufen und ergeben (2∶1)/(5∶3) = 6∶5. 12 Stufen nach oben und 4 Stufen (5∶4) wieder nach unten sind 8 Stufen und ergeben (2∶1)/(5∶4) = 8∶5. Solche Rechnungen sind etwas gewagt, weil die Frequenz­verhältnisse ja nur angenähert sind und Abweichungen sich anhäufen können. In diesen beiden Fällen ist das aber nicht so, denn 2∶1 wird ja nicht angenähert, sondern liegt exakt vor. 6∶5 und 8∶5 werden durch das System also genauso gut getroffen wie 5∶3 und 5∶4.

Die wichtigsten Frequenz­verhältnisse in der Übersicht:

Soweit also die Fantasie. Ein theoretisches System, entwickelt aus einem rudimentären Verständnis davon, was Harmonie ist. Wie viel hat nun die musikalische Wirklichkeit damit zu tun? Ein Blick aufs Klavier:

Die Unterscheidung in große weiße und kleine schwarze Tasten soll uns hier noch nicht interessieren, sie hat mit Tonleitern zu tun, darum wird sich der nächste Teil drehen. Das Wesentliche ist an dieser Stelle die Anzahl der Tasten, aus denen das wieder­kehrende Muster besteht, denn durch sie verrät sich das benutzte Tonsystem: Es sind zwölf.

13 aufeinander­folgende Tasten auf einem Klavier, schwarze inbegriffen. Die Töne folgen einander im gleichen relativen Abstand. Der letzte Ton hat die doppelte Frequenz des ersten - der erste Ton der nächsten Periode.

Wir sind mit unseren Überlegungen genau dort gelandet, wo sich die westliche Musik seit Jahrhunderten befindet.

Unter dem Aspekt der Harmonie ergibt dieses sogenannte chromatische System also sehr viel Sinn. Nicht, dass es zwingend wäre, wir haben ja ein paar Entscheidungen getroffen, aber es hat beträchtliche Vorteile. Willkürlich und austauschbar ist es mitnichten. Es muss deshalb auch nicht verwundern, dass diese „westliche“ Art von Musik in Wahrheit längst die globale ist.

Trotz aller Vorteile gibt es natürlich Alternativen, und in seltenen Fällen kommen solche auch zum Einsatz. Eine davon ist in der Grafik mit möglichen Füllungen der Periode schon zu erkennen. Mit neunzehn statt zwölf Tönen sind ebenfalls alle wichtigen Harmonien verfügbar.

Dabei steht den Nachteilen, die mit einer größeren Anzahl von Tönen verbunden sind, sogar ein kleiner Vorteil gegen­über, denn alle Annäherungen sind hier besser als die ziemlich schlechten bei 5∶4 und 5∶3 im zwölf­stufigen System. Mit einem durch­schnittlichen Gehör ist das aber kaum wahr­nehmbar. Im Übrigen macht das Tonsystem bei harmonischen Kompositionen, wie sie in der Popmusik vorherrschen, generell keinen großen Unter­schied. Im Bereich der Harmonie erfüllen alle relevanten Systeme die gleichen Pflichten. Erst, wenn ein Stück ins Dissonante wandert, tut es das je nach System deutlich verschieden.

Die alternativen Systeme werden uns hier nicht weiter interessieren, wir bleiben beim zwölf­stufigen. Es würde aber jegliche noch folgende Logik zum Verhältnis von Tönen leicht angepasst auch im neunzehn­stufigen System funktionieren, z.B. wenn es um Akkorde geht.