Teil 2

Das chromatische System

Wenn Töne Frequenzen sind, dann bedeutet das: Es gibt unendlich viele verschiedene Töne. Das ganze hörbare Spektrum von 20 Hz bis 20 kHz ist ein Kontinuum von Tönen. Bekannter­maßen kommt in der Musik aber nur eine relativ kleine Auswahl an Tönen zum Einsatz. Selbst ein Klavier, dessen Töne drei Viertel des hörbaren Spektrums abdecken, kommt mit 88 Tasten aus. Das hat natürlich praktische Gründe. Für eine begrenzte Menge an Tönen kann eine über­sichtliche Symbol­schrift entwickelt werden, die der Interpret viel leichter ablesen kann als eine Liste von Frequenz­angaben. Auch ist der Bau vieler Instrumente (wie eben eines Klaviers) nur möglich, weil die Anzahl der Töne, die in der Musik benutzt werden, über­schaubar ist.

Die folgenden Betrachtungen gibt es in zwei Fassungen, einer langen und einer kurzen. Dies ist die kurze. Wer kein völliger Mathe­muffel ist, dem sei die lange nahegelegt. Sie beschreibt das, was hier nur angedeutet ist: das Warum.

Die Auswahl an Tönen, mit der die westliche Musik seit Jahr­hunderten arbeitet, wird chromatisches System genannt. Diese Auswahl ist sehr geschickt. Sie hat Qualitäten, die kein anderes System aufweist, das vergleich­bar übersichtlich ist und mit gleicher­maßen wenigen Tönen auskommt.

Der Tonvorrat ergibt sich dabei aus einem sehr einfachen Ansatz. Die Töne werden gleich­mäßig über das Spektrum verteilt. Von einem Ton zum höheren Nachbar­ton wächst die Frequenz immer um den gleichen oder fast gleichen Faktor (letzteres bei alternativen Stimmungen). Der Faktor ist so gewählt, dass nach zwölf­facher Anwendung exakt eine Verdoppelung erreicht ist.

Dreizehn aufeinander­folgende Tasten auf einem Klavier, schwarze inbegriffen. Die Töne folgen einander im gleichen relativen Abstand. Der letzte Ton hat die doppelte Frequenz des ersten.

Die Längen der Balken über den Tasten stehen hier für die Frequenzen. Wegen der Art der Berechnung (konstanter Faktor) ist die Kurve exponentiell.

Die zentrale Rolle der Zahl Zwölf kann leicht zu falschen Vorstellungen führen. Die Zwölf ist ja eine alte Bekannte, sie erinnert an die Uhr und an die historischen Längen­einheiten mit zwölf Zoll pro Fuß. Sie ist eine Lieblings­zahl des Homo Sapiens und wurde immer gerne für Unter­teilungen verwendet. Die Zwölf im chromatischen System gehört nicht in diese Sammlung, sie hat einen ganz anderen Hinter­grund. Sie ist nicht wirklich gewählt, sondern durch die Mathematik vorgegeben, und das auf eine sehr spezielle Art, die nur zufällig wieder bei der hübschen Zwölf landet. Die theoretischen Alternativen machen das deutlich: 19, 23, 31.

Es müssen zwölf Schritte sein, die zur Verdoppelung führen, denn die meisten anderen Teilungen leisten zwar gleicher­maßen die Verdoppelung und machen so das Verhältnis 2∶1 verfügbar. Sie liefern aber nicht obendrein noch all die übrigen Frequenz­verhältnisse, die harmonisch wichtig sind, nämlich 3∶2, 4∶3, 5∶3 und 5∶4. Die Teilung in zwölf Schritte tut das. Auf dem Weg zur Verdoppelung werden die anderen Verhältnisse mit eingesammelt, wenn auch nur als Annäherung.

Dass eine gute Annäherung genügt, wissen wir aus der Praxis. Keine reale Erscheinung enthält jemals absolut exakte Frequenz­verhältnisse, auch Instrumente können unmöglich perfekt gestimmt sein, und doch hören wir Harmonie. Die Annäherungen von 5∶3 und 5∶4 sind ausreichend genau (< 1 % Abweichung), die von 3∶2 und 4∶3 sogar exzellent (ca. 0,1 %).

Aus Sicht der Harmonie lässt das chromatische System also kaum Wünsche offen. Zu jedem Ton sind auch alle Töne verfügbar, die gut mit ihm harmonieren, weil sie eins der harmonischen Frequenz­verhältnisse aufweisen. Die kleinen Ungenauig­keiten sind für durch­schnittliche Ohren nicht hörbar.

Klar ist an dieser Stelle auch, dass die Unter­scheidung in große weiße und kleine schwarze Tasten auf Klavier, Keyboard & Co nur eine relativ geringe Bedeutung hat. Sicherlich wird das Musizieren dadurch leichter, aber es gibt keinen wesentlichen Unter­schied zwischen den weißen und den schwarzen Tönen. Sie bilden gemeinsam eine gleich­mäßige Reihe. Alles, was ein weißer Ton tut, kann in einem anderen Stück ein schwarzer tun und umgekehrt.