zugehört: Woraus ist Popmusik gemacht?

Teil 2:  Wir erfinden die Musik

In diesem Teil muss ich leider die Geduld und die grauen Zellen des Lesers etwas strapazieren, denn es wird mathematisch. Mathematik ist aber der Schlüssel, um bestimmte Aspekte der Musik zu verstehen, und allzu kompliziert wird es auch nicht.

Wenn Töne Frequenzen sind, dann bedeutet das: Es gibt unendlich viele verschiedene Töne. Das ganze hörbare Spektrum von 20 Hz bis 20 kHz ist ein Kontinuum von Tönen. Bekannter­maßen kommt in der Musik aber nur eine relativ kleine Auswahl an Tönen zum Einsatz. Selbst ein Klavier, dessen Töne drei Viertel des hörbaren Spektrums abdecken, kommt mit 88 Tasten aus. Das hat natürlich praktische Gründe. Für eine begrenzte Menge an Tönen kann eine über­sichtliche Symbol­schrift entwickelt werden, die der Interpret viel leichter ablesen kann als eine Liste von Frequenz­angaben. Auch ist der Bau vieler Instrumente (wie eben eines Klaviers) nur möglich, weil die Anzahl der Töne, die in der Musik benutzt werden, über­schaubar ist.

Aber welche Töne sind das, die da ausgewählt werden, um Musik zu machen? Ist diese seit Jahr­hunderten übliche Auswahl willkürlich? Eine reine Konvention, die sich ebensogut völlig anders hätte heraus­bilden können? Oder gibt es gute Gründe für genau diese Auswahl?

Um das zu untersuchen, wollen wir so tun, als gäbe es Musik noch nicht und wir würden sie gerade erfinden. Ausgehend vom Verständnis von Harmonie, das wir im ersten Teil gewonnen haben, wollen wir für Musik eine Auswahl an Tönen treffen, zwischen denen sich möglichst viele Harmonien ergeben. Wir werden sehen, welche Empfehlungen oder Notwendig­keiten sich ergeben, und ob sich diese in der real praktizierten Musik wiederfinden.

Idealerweise sollten in unserer Auswahl zu jedem Ton auch diejenigen enthalten sein, die gut mit ihm harmonieren, also ein Frequenz­verhältnis von 2:1, 3:2, 4:3, 5:3 oder 5:4 aufweisen, und zwar in beiden Richtungen. Das werden wir versuchen zu erreichen, und zwar mit maximal 200 Tönen im hörbaren Spektrum.

Der erste Schritt ist einfach. Wir konzentrieren uns zunächst auf die wichtigste Harmonie, die größte, also die Verhältnisse 2:1 und 1:2, und fügen die Töne, die dafür fehlen, einfach der Auswahl hinzu. Eine Frequenz f in der Auswahl holt also auch f*2 und f/2 hinein. f*2 wiederum holt (f*2)*2=f*4 und (f*2)/2=f nach, wobei letzteres schon vorhanden ist. Analog holt f/2 zwei Frequenzen nach, nämlich (f/2)*2=f und (f/2)/2=f/4; ersteres ist schon vorhanden. Weiter geht es mit f*8, f/8, f*16, f/16 usw. An den Grenzen des hörbaren Spektrums können wir den Spaß beenden, deshalb kommen nur relativ wenige Töne zusammen - etwa zehn pro Ausgangston.

Diese Töne erfordert ein Ton von 440 Hz, damit zu jedem Ton die Harmonien 2:1 und 1:2 existieren.

play

Für das Verhältnis 2:1 ist das Ziel damit vollständig erreicht, selbst wenn wir mehrere Ausgangs­töne haben, die zueinander in beliebigen Verhältnissen stehen. Jeder hat in der Auswahl seine eigene 2:1-Verwandtschaft.

An dieser Stelle ist schon klar, dass die Auswahl an Tönen am Ende einen periodischen Charakter haben wird. Alle Töne, die in einem Frequenz­bereich von f bis f*2 ausgewählt sind, finden sich mit doppelter Frequenz im Bereich f*2 bis f*4 wieder und mit halbierter im Bereich f/2 bis f. Wenn wir z.B. Töne mit den Frequenzen 600 Hz, 750 Hz, 800 Hz und 900 Hz in der Auswahl hätten, dann hätten wir oberhalb davon auch 1200 Hz, 1500 Hz, 1600 Hz und 1800 Hz. Ebenso unterhalb 300 Hz, 375 Hz, 400 Hz und 450 Hz.

ansteigende Frequenzen mit Periode

Wir haben eine Periode mit dem Faktor 2. Von den Rändern abgesehen, können wir das ganze Diagramm vertikal um den Faktor 2 strecken und um 4 Töne nach rechts verschieben, und es kommt perfekt auf sich selbst zu liegen. Diese Periode existiert tatsächlich in der realen Musik und hat dort natürlich einen griffigen Namen, auf den wir in Teil 3 zu sprechen kommen. Das hörbare Spektrum zwischen 20 Hz und 20 kHz besteht aus zehn solchen Perioden, denn 20 Hz müssen zehn mal verdoppelt werden, um zu 20 kHz (= 20 000 Hz) zu werden.

Im Übrigen hat sich auch das Projekt vereinfacht. Wir können uns auf eine einzige Periode konzentrieren und deren Töne festlegen, die übrigen Perioden ergeben sich als deren Kopien. Alle Frequenz­verhältnisse, die wir in dieser einen Periode erreichen, sind auch in allen anderen erreicht. Da es zehn Perioden sind, geht es um maximal 20 auszuwählende Töne, wenn wir insgesamt nicht über 200 kommen wollen.

Welche Töne müssen wir also wählen, um die noch fehlenden Verhältnisse wie z.B. 3:2 in die Auswahl zu bekommen? Eigentlich müssten wir dazu wieder genau so vorgehen wie für 2:1 und die notwendigen Töne ergänzen, sowie für die ergänzten Töne natürlich auch wieder alle Töne, die es für die 2:1-Harmonie braucht. Leider funktioniert das nicht. Mit mehreren Verhältnissen statt einem nimmt die Prozedur kein Ende und ergibt immer neue Töne, die irgendwo in der Mitte noch fehlen.

Das Problem liegt im Versuch, die Verhältnisse mathematisch ganz exakt zu erhalten. Das ist mit endlich vielen Tönen nicht möglich. Aber es ist auch gar nicht nötig, wie wir aus der Praxis wissen. Keine reale Erscheinung enthält jemals absolut exakte Frequenz­verhältnisse, auch Instrumente können unmöglich perfekt gestimmt sein, und doch hören wir Harmonie. Eine Annäherung an die harmonischen Verhältnisse genügt offenbar. Damit ist der Ausgang unseres Projekts wieder offen. Mit 1000 gleichmäßig verstreuten Tönen pro Periode hätten wir sofort alle erdenklichen Verhältnisse gut angenähert, nur: es sollen ja maximal 20 sein.

Die neue Aufgabe lautet also: Wir wollen eine einzelne Periode (abstrakt den Bereich zwischen den Frequenzen f und f*2) mit einigen Tönen füllen, die sich gegenseitig so gut ergänzen, dass jeder davon jedes der harmonischen Verhältnisse mit einem Partnerton in dieser oder einer anderen Periode gut annähert. Da absehbar ist, dass es nicht nur zwei oder drei Töne sein werden, sondern eine ganze Reihe, sind das erschreckend viele Verhältnisse, die stimmen müssen. Das könnte schwierig werden. Eins ist aber klar: eine komplizierte Lösung ist schon deshalb ungünstig, weil am Ende der Komponist mit dem System arbeiten muss. Je unübersichtlicher das Gewirr von Frequenz­verhältnissen ist, umso schlechter wird er es beherrschen.

Es wäre also gut, wenn wir die Aufgabe noch weiter vereinfachen könnten. Am besten wäre so etwas wie eine vollständige Symmetrie: alle Töne der gesamten Auswahl weisen die gleichen Frequenz­verhältnisse zu den anderen Tönen auf. Dann wird unsere Suche einfacher, und der Komponist bekommt ein aufgeräumtes Tonsystem mit markanten Gesetz­mäßigkeiten. Für eine solche Symmetrie müssen die Töne eine geometrische Folge bilden, d.h. von einem zum nächsten wächst die Frequenz immer um den gleichen Faktor irgendwo knapp über 1. Damit ist die Auswahl der Töne nicht nur für die Periode mit dem Faktor 2 selbst­ähnlich, sondern für jeden einzelnen Ton.

ansteigende Frequenzen in geometrischer Reihe

Mit dieser Idee bleibt nun aber sehr wenig Freiheit. Wir können nur noch die Anzahl der Töne pro Periode wählen, alles andere ergibt sich daraus. Also: Mit welcher Anzahl von Tönen pro Periode bekommen wir, gut angenähert, die gewünschten harmonischen Verhältnisse?

Probieren wir einfach die Varianten durch. Folgende Liste zeigt für jede potenzielle Anzahl von Tönen pro Periode zwischen 4 und 20 die Frequenz­verhältnisse zum ersten Ton, denen sich die Töne der Periode annähern. Wegen der Symmetrie genügt es, die Verhältnisse zum ersten Ton zu beachten, die anderen Töne weisen unter­ein­ander die gleichen Verhältnisse auf. Neben den Verhältnissen ist jeweils die Abweichung der Annäherung angegeben (in Prozent). Ist eine der Möglichkeiten brauchbar?

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2:1

Die kleinste Zahl von Tönen, die uns alle gewünschten Verhältnisse liefert, ist 12. Überhaupt hat die Variante eine hohe Dichte an harmonischen und halb­harmonischen Verhältnissen. Einziger Wermuts­tropfen sind die relativ hohen Abweichungen der Annäherungen zu 5:4 und 5:3 von jeweils fast einem Prozent. Um in dieser Hinsicht besser zu sein, müssten wir auf 19 Töne hinauf gehen. Dort bilden aber viele Frequenzen keinerlei harmonisches Verhältnis. 12 erscheint als der beste Kompromiss. Die 10 Perioden des hörbaren Spektrums kommen damit insgesamt auf 120 Töne, was mit Blick auf die Praxis vertretbar ist.

Damit wären wir genau dort gelandet, wo sich die westliche Musik seit 200 Jahren befindet. Eine Periode von 12 Tönen lässt sich auf jedem Klavier erkennen, die Frequenzen verdoppeln sich mit jeder Periode, und die Töne folgen einander im gleichen relativen Abstand.

 12
  
  
 6:5
 5:4
 4:3
 7:5
 3:2
 8:5
 5:3
  
  
 2:1

13 aufeinander­folgende Tasten auf einem Klavier. Die Abstände sind gleich. Der letzte Ton hat die doppelte Frequenz des ersten.

play

Unter dem Aspekt der Harmonie ergibt dieses sogenannte chromatische System also sehr viel Sinn. Nicht, dass es zwingend wäre, wir haben ja ein paar Entscheidungen getroffen, aber es hat beträchtliche Vorteile. Willkürlich und austauschbar ist es mitnichten. Es muss deshalb auch nicht verwundern, dass diese "westliche" Art von Musik in Wahrheit längst die globale ist.